Τριμερές διάγραμμα

Ένα τριμερές ή τριαδικό ή τριπλό ή τριγωνικό ή simplex (μονοπλέγματος) διάγραμμα, (ternary plot, ternary graph, triangle plot, simplex plot, Gibbs triangle) είναι ένα βαρυκεντρικό διάγραμμα με τρεις μεταβλητές των οποίων το άθροισμα είναι μια σταθερά.^[1] Απεικονίζει γραφικά τις αναλογίες των τριών μεταβλητών ως θέσεις σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Χρησιμοποιείται στη φυσικοχημεία, πετρολογία, ορυκτολογία, μεταλλουργία και άλλες φυσικές επιστήμες για να δείξει τις συστάσεις συστημάτων που αποτελούνται από τρία είδη. Τα τριμερή διαγράμματα είναι εργαλεία για την ανάλυση συνιστωσών (συστατικών) δεδομένων στην τρισδιάστατη περίπτωση.

Στη γενετική των πληθυσμών, ένα τριγωνικό διάγραμμα συχνοτήτων γονότυπων ονομάζεται διάγραμμα de Finetti. Στη θεωρία παιγνίων^[2] και την κυρτή βελτιστοποίηση (convex optimization),^[3] ονομάζεται συχνά διάγραμμα μονοπλέγματος (simplex).

Σε ένα τριμερές διάγραμμα, οι τιμές των τριών μεταβλητών $a$ , $b$ και $c$ πρέπει να αθροίζονται σε κάποια σταθερά, $K$ . Συνήθως, αυτή η σταθερά αναπαρίσταται ως 1,0 ή 100%. Επειδή $a + b + c = K$ για όλες τις ουσίες που απεικονίζονται, οποιαδήποτε μεταβλητή δεν είναι ανεξάρτητη από τις άλλες, επομένως μόνο δύο μεταβλητές πρέπει να είναι γνωστές για να βρεθεί το σημείο ενός δείγματος στο γράφημα: παραδείγματος χάρη, η $c$ πρέπει να είναι ίση με $K - a - b$ . Επειδή οι τρεις αριθμητικές τιμές δεν μπορούν να μεταβάλλονται ανεξάρτητα—υπάρχουν μόνο δύο βαθμοί ελευθερίας—είναι δυνατό να απεικονιστούν γραφικά οι συνδυασμοί και των τριών μεταβλητών μόνο με δύο διαστάσεις.

Το πλεονέκτημα της χρήσης ενός τριμερούς διαγράμματος για την απεικόνιση των χημικών συστάσεων είναι ότι τρεις μεταβλητές μπορούν εύκολα να απεικονιστούν σε ένα δισδιάστατο γράφημα. Τα τριμερή διαγράμματα μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία διαγραμμάτων φάσεων, σκιαγραφώντας τις περιοχές σύστασης στο διάγραμμα όπου υπάρχουν διαφορετικές φάσεις.

Οι τιμές ενός σημείου σε ένα τριμερές διάγραμμα αντιστοιχούν (μέχρι μια σταθερά) στις τριγραμμικές συντεταγμένες ή βαρυκεντρικές συντεταγμένες του.

Ανάγνωση τιμών σε τριμερές διάγραμμα

Υπάρχουν τρεις ισοδύναμες μέθοδοι που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό των τιμών ενός σημείου στο γράφημα:

Παράλληλη γραμμή ή μέθοδος πλέγματος. Η πρώτη μέθοδος είναι η χρήση ενός πλέγματος διαγράμματος που αποτελείται από γραμμές παράλληλες προς τις άκρες του τριγώνου. Μια παράλληλη προς μια πλευρά του τριγώνου είναι ο τόπος των σταθερών σημείων στη συνιστώσα (συστατικό) που βρίσκεται στην κορυφή απέναντι από την πλευρά. Κάθε συνιστώσα (συστατικό) βρίσκεται 100% σε μια γωνία του τριγώνου και 0% στην απέναντι πλευρά, μειώνοντας γραμμικά με την αυξανόμενη απόσταση (κάθετη προς την απέναντι πλευρά) από αυτήν τη γωνία. Σχεδιάζοντας παράλληλες γραμμές σε κανονικά διαστήματα μεταξύ της μηδενικής γραμμής και της γωνίας, μπορούν να δημιουργηθούν λεπτές διαιρέσεις για εύκολη εκτίμηση.
Κάθετη γραμμή ή μέθοδος υψομέτρου. Για διαγράμματα που δεν διαθέτουν γραμμές πλέγματος, ο ευκολότερος τρόπος για να προσδιοριστούν οι τιμές είναι να προσδιοριστούν οι μικρότερες (δηλαδή κάθετες) αποστάσεις από το σημείο ενδιαφέροντος προς καθεμία από τις τρεις πλευρές. Σύμφωνα με το θεώρημα Βιβιάνι, οι αποστάσεις (ή οι λόγοι των αποστάσεων προς το ύψος τριγώνου) δίνουν την τιμή κάθε συνιστώσας (συστατικού).
Γωνιακή γραμμή ή μέθοδος τομής. Η τρίτη μέθοδος δεν απαιτεί τη σχεδίαση κάθετων ή παράλληλων γραμμών. Σχεδιάζονται ευθείες γραμμές από κάθε γωνία, μέσω του σημείου ενδιαφέροντος, προς την αντίθετη πλευρά του τριγώνου. Τα μήκη αυτών των γραμμών, καθώς και τα μήκη των τμημάτων μεταξύ του σημείου και των αντίστοιχων πλευρών, μετρώνται ξεχωριστά. Η αναλογία των μετρούμενων γραμμών δίνει στη συνέχεια την τιμή της συνιστώσας (συστατικού) ως κλάσμα του 100%.

Μια μετατόπιση κατά μήκος μιας παράλληλης γραμμής (γραμμή πλέγματος) διατηρεί το άθροισμα των δύο τιμών, ενώ η κίνηση κατά μήκος μιας κάθετης γραμμής αυξάνει (ή μειώνει) τις δύο τιμές κατά ίσο ποσό, με κάθε μία να μειώνεται (αυξάνεται) κατά το ήμισυ της τρίτης τιμής. Η κίνηση κατά μήκος μιας γραμμής που διέρχεται από μια γωνία διατηρεί την αναλογία των άλλων δύο τιμών.

Σχήμα 1. Μέθοδος ύψους
Σχήμα 2. Μέθοδος τομής
Σχήμα 3. Παράδειγμα τριμερούς διαγράμματος, χωρίς να έχουν απεικονιστεί σημεία.
Σχήμα 4. Παράδειγμα τριμερούς διαγράμματος, που δείχνει βήματα κατά μήκος του πρώτου άξονα.
Σχήμα 5. Παράδειγμα τριμερούς διαγράμματος, που δείχνει βήματα κατά μήκος του δεύτερου άξονα.
Σχήμα 6. Παράδειγμα τριμερούς διαγράμματος, που δείχνει βήματα κατά μήκος του τρίτου άξονα.
Σχήμα 7. Κενό τριμερές διάγραμμα
Σχήμα 8. Ένδειξη για το πώς λειτουργούν οι τρεις άξονες.
Γράφημα τριγώνου χωρίς ετικέτα με κύριες γραμμές πλέγματος
Γράφημα τριγώνου χωρίς ετικέτες με κύριες και δευτερεύουσες γραμμές πλέγματος

Παράγωγος από καρτεσιανές συντεταγμένες

Το Σχήμα (1) δείχνει μια πλάγια προβολή του σημείου $P(a, b, c)$ σε έναν τρισδιάστατο καρτεσιανός χώρος με άξονες $a$ , $b$ και $c$ , αντίστοιχα.

Εάν $a + b + c = K$ (μια θετική σταθερά), το $P$ περιορίζεται σε ένα επίπεδο που περιέχει $A(K,0,0)$ , $B(0, K,0)$ και $C(0,0, K)$ . Αν τα $a$ , $b$ και $c$ δεν μπορούν να είναι αρνητικά, το $P$ περιορίζεται στο τρίγωνο που οριοθετείται από τα $A$ , $B$ και $C$ , όπως στο (2).

Στο (3), οι άξονες περιστρέφονται για να δώσουν μια ισομετρική όψη. Το τρίγωνο, όταν το βλέπουμε από την πλευρά του, εμφανίζεται ισόπλευρο.

Στο (4), οι αποστάσεις του $P$ από τις γραμμές $BC$ , $AC$ και $AB$ συμβολίζονται με $a'$ , $b'$ και $c'$ , αντίστοιχα.

Για οποιαδήποτε γραμμή $l = s + t n ̂$ σε διανυσματική μορφή (το $n ̂$ είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα) και ένα σημείο $p$ , η κάθετη απόσταση από το $p$ έως το $l$ είναι

\left\|(\mathbf {s} -\mathbf {p} )-{\bigl (}(\mathbf {s} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {\hat {n}} {\bigr )}\mathbf {\hat {n}} \right\|\,.

Σε αυτήν την περίπτωση, το σημείο $P$ βρίσκεται στο

\mathbf {p} ={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,.

Η γραμμή $BC$ έχει

\mathbf {s} ={\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{και}}\quad \mathbf {\hat {n}} ={\frac {{\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\0\\K\end{pmatrix}}}{\left\|{\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\0\\K\end{pmatrix}}\right\|}}={\frac {\begin{pmatrix}0\\K\\-K\end{pmatrix}}{\sqrt {0^{2}+K^{2}+{(-K)}^{2}}}}={\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\,.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο της κάθετης απόστασης,

{\begin{aligned}a'&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}-\left({\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}-\left(0+{\frac {K-b}{\sqrt {2}}}+{\frac {c}{\sqrt {2}}}\right){\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b-{\frac {K-b+c}{2}}\\-c+{\frac {K-b+c}{2}}\end{pmatrix}}\right\|=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\{\frac {K-b-c}{2}}\\{\frac {K-b-c}{2}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&={\sqrt {{(-a)}^{2}+{\left({\frac {K-b-c}{2}}\right)}^{2}+{\left({\frac {K-b-c}{2}}\right)}^{2}}}={\sqrt {a^{2}+{\frac {{(K-b-c)}^{2}}{2}}}}\,.\end{aligned}}

Αντικαθιστώντας $K = a + b + c$ ,

a'={\sqrt {a^{2}+{\frac {{(a+b+c-b-c)}^{2}}{2}}}}={\sqrt {a^{2}+{\frac {a^{2}}{2}}}}=a{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.

Παρόμοιος υπολογισμός στις γραμμές $AC$ και $AB$ δίνει

b'=b{\sqrt {\frac {3}{2}}}\quad {\text{και}}\quad c'=c{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.

Αυτό δείχνει ότι η απόσταση του σημείου από τις αντίστοιχες γραμμές είναι γραμμικά ανάλογη με τις αρχικές τιμές $a$ , $b$ και $c$ .^[4]

Σχεδίαση τριμερούς διαγράμματος

Οι Καρτεσιανές συντεταγμένες είναι χρήσιμες για την απεικόνιση σημείων στο τρίγωνο. Θεωρήστε ένα ισόπλευρο τριμερές διάγραμμα όπου το $a = 100%$ τοποθετείται στο $(x, y) = (0,0)$ και το $b = 100%$ στο $(1,0)$ . Τότε το $c = 100%$ είναι ${\textstyle ({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}),}$ και η τριάδα $(a, b, c)$ είναι

\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2b+c}{a+b+c}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {c}{a+b+c}}\right)\,.

Παράδειγμα

Αυτό το παράδειγμα δείχνει πώς λειτουργεί αυτό για ένα υποθετικό σύνολο τριών δειγμάτων εδάφους:

Δείγμα	Άργιλος	Ιλύς	Άμμος	Σημειώσεις
Δείγμα 1	50%	20%	30%	Επειδή ο άργιλος και η ιλύς μαζί αποτελούν το 70% αυτού του δείγματος, η αναλογία της άμμου πρέπει να είναι 30% για να επιτευχθεί το άθροισμα των συστατικών στο 100%.
Δείγμα 2	10%	60%	30%	Η αναλογία της άμμου είναι 30% όπως στο Δείγμα 1, αλλά καθώς η αναλογία της ιλύος αυξάνεται κατά 40%, η αναλογία της αργίλου μειώνεται αντίστοιχα.
Δείγμα 3	10%	30%	60%	Αυτό το δείγμα έχει την ίδια αναλογία αργίλου με το Δείγμα 2, αλλά οι αναλογίες ιλύος και άμμου έχουν εναλλαγεί. το γράφημα ανακλάται γύρω από τον κατακόρυφο άξονά του.

Σχεδίαση των σημείων

Σχεδίαση Δείγματος 1 (βήμα 1):
Εύρεση της γραμμής αργίλου 50%
Σχεδίαση Δείγματος 1 (βήμα 2):
Εύρεση της γραμμής ιλύος 20%
Σχεδίαση Δείγματος 1 (βήμα 3):
Εξαρτώμενο από τα δύο πρώτα, το σημείο τομής βρίσκεται στη γραμμή άμμου 30%.
Σχεδίαση όλων των δειγμάτων
Σχεδίαση τριγωνικού διαγράμματος τύπων εδάφους άμμου, αργίλου και ιλύος προγραμματισμένο με Mathematica

Παραπομπές

↑ Weisstein, Eric W. «Ternary Diagram». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 5 Ιουνίου 2021.
↑ Karl Tuyls, "An evolutionary game-theoretic analysis of poker strategies", Entertainment Computing January 2009
doi:10.1016/j.entcom.2009.09.002
, p. 9
↑ Boyd, S. and Vandenberghe, L., 2004. Convex optimization. Cambridge university press.
↑ Vaughan, Will (5 Σεπτεμβρίου 2010). «Ternary plots». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 20 Δεκεμβρίου 2010. Ανακτήθηκε στις 7 Σεπτεμβρίου 2010.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

«Excel Template for Ternary Diagrams». serc.carleton.edu. Science Education Resource Center (SERC) Carleton College. Ανακτήθηκε στις 14 Μαΐου 2020.
«Tri-plot: Ternary diagram plotting software». www.lboro.ac.uk. Loughborough University – Department of Geography / Resources Gateway home > Tri-plot. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 5 Φεβρουαρίου 2023. Ανακτήθηκε στις 14 Μαΐου 2020.
«Ternary Plot Generator – Quickly create ternary diagrams on line». www.ternaryplot.com. Ανακτήθηκε στις 14 Μαΐου 2020.
Holland, Steven (2016). «Data Analysis in the Geosciences – Ternary Diagrams developed in the R language». strata.uga.edu. University of Georgia. Ανακτήθηκε στις 14 Μαΐου 2020.

[1] Weisstein, Eric W. «Ternary Diagram». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 5 Ιουνίου 2021.

[2] Karl Tuyls, "An evolutionary game-theoretic analysis of poker strategies", Entertainment Computing January 2009
doi:10.1016/j.entcom.2009.09.002
, p. 9

[3] Boyd, S. and Vandenberghe, L., 2004. Convex optimization. Cambridge university press.

[Vaughan-4] Vaughan, Will (5 Σεπτεμβρίου 2010). «Ternary plots». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 20 Δεκεμβρίου 2010. Ανακτήθηκε στις 7 Σεπτεμβρίου 2010.

[1]

[2]

[3]

[4]