Πίνακας Κάρλεμαν

Στα μαθηματικά, ο πίνακας Κάρλεμαν είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται για τη μετατροπή της σύνθεσης συναρτήσεων σε πολλαπλασιασμό πινάκων. Χρησιμοποιείται συχνά στην Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση για την εύρεση της συνεχούς επαναλαμβανόμενης συνάρτησης η οποία δεν μπορεί να επαναληφθεί μόνο με αναγνώριση προτύπων. Άλλες χρήσεις των πινάκων Κάρλεμαν εμφανίζονται στη θεωρία των συναρτήσεων παραγωγής πιθανοτήτων και των αλυσίδων Μάρκοφ.

Ορισμός

Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας απείρως διαφορίσιμης συνάρτησης $f(x)$ ορίζεται ως:

$M[f]_{jk}={\frac {1}{k!}}\left[{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(f(x))^{j}\right]_{x=0}~,$

ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση (σειρά Τέιλορ):

$(f(x))^{j}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{jk}x^{k}.$

Παραδείγματος χάριν, ο υπολογισμός του $f(x)$ από το

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{1,k}x^{k}.~$

ισοδυναμεί απλώς με το τετραγωνικό γινόμενο της γραμμής 1 του $M[f]$ με ένα διάνυσμα στήλης $\left[1,x,x^{2},x^{3},...\right]^{\tau }$.

Οι καταχωρήσεις του $M[f]$ στην επόμενη σειρά δίνουν τη 2η δύναμη του $f(x)$:

$f(x)^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{2,k}x^{k}~,$

και επίσης, προκειμένου να έχουμε τη μηδενική δύναμη του $f(x)$ στο $M[f]$, υιοθετούμε τη σειρά 0 που περιέχει μηδενικά παντού εκτός από την πρώτη θέση, έτσι ώστε

$f(x)^{0}=1=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{0,k}x^{k}=1+\sum _{k=1}^{\infty }0\cdot x^{k}~.$

Έτσι, το εσωτερικό γινόμενο του $M[f]$ με το διάνυσμα στήλης ${\begin{bmatrix}1,x,x^{2},...\end{bmatrix}}^{T}$ δίνει το διάνυσμα στήλης $\left[1,f(x),f(x)^{2},...\right]^{T}$, δηλαδή,

$M[f]{\begin{bmatrix}1\\x\\x^{2}\\x^{3}\\\vdots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\f(x)\\(f(x))^{2}\\(f(x))^{3}\\\vdots \end{bmatrix}}.$

Γενίκευση

Μια γενίκευση του πίνακα Κάρλεμαν μιας συνάρτησης μπορεί να οριστεί γύρω από οποιοδήποτε σημείο, όπως:

$M[f]_{x_{0}}=M_{x}[x-x_{0}]M[f]M_{x}[x+x_{0}]$

ή $M[f]_{x_{0}}=M[g]$ όπου $g(x)=f(x+x_{0})-x_{0}$. Αυτό επιτρέπει τη συσχέτιση της ισχύος του πίνακα ως εξής:

$(M[f]_{x_{0}})^{n}=M_{x}[x-x_{0}]M[f]^{n}M_{x}[x+x_{0}]$

Γενική σειρά

Ένας άλλος τρόπος για να το γενικεύσουμε ακόμη περισσότερο είναι να σκεφτούμε μια γενική σειρά με τον ακόλουθο τρόπο:

Έστω $h(x)=\sum _{n}c_{n}(h)\cdot \psi _{n}(x)$ μια σειρά προσέγγισης της $h(x)$, όπου $\{\psi _{n}(x)\}_{n}$ είναι μια βάση του χώρου που περιέχει την $h(x)$.

Υποθέτοντας ότι η $\{\psi _{n}(x)\}_{n}$ είναι επίσης μια βάση για την $f(x)$, μπορούμε να ορίσουμε $G[f]_{mn}=c_{n}(\psi _{m}\circ f)$, επομένως έχουμε $\psi _{m}\circ f=\sum _{n}c_{n}(\psi _{m}\circ f)\cdot \psi _{n}=\sum _{n}G[f]_{mn}\cdot \psi _{n}$, τώρα μπορούμε να αποδείξουμε ότι $G[g\circ f]=G[g]\cdot G[f]$, αν υποθέσουμε ότι $\{\psi _{n}(x)\}_{n}$ είναι επίσης βάση για $g(x)$ και $g(f(x))$.

Έστω $g(x)$ τέτοια ώστε $\psi _{l}\circ g=\sum _{m}G[g]_{lm}\cdot \psi _{m}$ όπου $G[g]_{lm}=c_{m}(\psi _{l}\circ g)$.

τώρα

${\begin{aligned}\sum _{n}G[g\circ f]_{ln}\psi _{n}=\psi _{l}\circ (g\circ f)&=(\psi _{l}\circ g)\circ f\\&=\sum _{m}G[g]_{lm}(\psi _{m}\circ f)\\&=\sum _{m}G[g]_{lm}\sum _{n}G[f]_{mn}\psi _{n}\\&=\sum _{n,m}G[g]_{lm}G[f]_{mn}\psi _{n}\\&=\sum _{n}(\sum _{m}G[g]_{lm}G[f]_{mn})\psi _{n}\end{aligned}}$

Συγκρίνοντας τον πρώτο και τον τελευταίο όρο, και από το ότι $\{\psi _{n}(x)\}_{n}$ είναι μια βάση για $f(x)$, $g(x)$ και $g(f(x))$ προκύπτει ότι $G[g\circ f]=\sum _{m}G[g]_{lm}G[f]_{mn}=G[g]\cdot G[f]$

Παραδείγματα

Παραγωγή («Τέιλορ») πίνακας Κάρλεμαν

Αν θέσουμε $\psi _{n}(x)=x^{n}$ έχουμε τον πίνακα Κάρλεμαν'. διότι
$h(x)=\sum _{n}c_{n}(h)\cdot \psi _{n}(x)=\sum _{n}c_{n}(h)\cdot x^{n}$

τότε γνωρίζουμε ότι ο n-th συντελεστής $c_{n}(h)$ πρέπει να είναι ο n-th συντελεστής της σειρά Τέιλορ του $h$.

Επομένως $c_{n}(h)={\frac {1}{n!}}h^{(n)}(0)$
άρα $G[f]_{mn}=c_{n}(\psi _{m}\circ f)=c_{n}(f(x)^{m})={\frac {1}{n!}}\left[{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(f(x))^{m}\right]_{x=0}$

Ο οποίος είναι ο πίνακας Κάρλεμαν που δόθηκε παραπάνω. (Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι αυτή δεν είναι μια ορθοκανονική βάση)

Πίνακας Κάρλεμαν για ορθοκανονική βάση

Αν $\{e_{n}(x)\}_{n}$ είναι μια ορθοκανονική βάση για ένα χώρο Χίλμπερτ με καθορισμένο εσωτερικό γινόμενο $\langle f,g\rangle$, μπορούμε να ορίσουμε $\psi _{n}=e_{n}$ και $c_{n}(h)$ θα είναι ${\displaystyle \langle h,e_{n}\rangle }$. Τότε

$G[f]_{mn}=c_{n}(e_{m}\circ f)=\langle e_{m}\circ f,e_{n}\rangle$.

Πίνακας Κάρλεμαν για σειρές Φουριέ

Αν $e_{n}(x)=e^{inx}$ έχουμε το ανάλογο για τις Σειρές Φουριέ.

Έστω ${\hat {c}}_{n}$ και ${\hat {G}}$ αντιπροσωπεύουν τον συντελεστή Κάρλεμαν και τον πίνακα στη βάση Φουριέ. Επειδή η βάση είναι ορθογώνια, έχουμε.

${\hat {c}}_{n}(h)=\langle h,e_{n}\rangle ={\cfrac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\displaystyle h(x)\cdot e^{-inx}dx$.

Τότε, λοιπόν, ${\hat {G}}[f]_{mn}={\hat {c_{n}}}(e_{m}\circ f)=\langle e_{m}\circ f,e_{n}\rangle$ που είναι

${\hat {G}}[f]_{mn}={\cfrac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\displaystyle e^{imf(x)}\cdot e^{-inx}dx$

Ιδιότητες

Οι πίνακες Κάρλεμαν ικανοποιούν τη θεμελιώδη σχέση

• $M[f\circ g]=M[f]M[g]~,$

γεγονός που καθιστά τον πίνακα Κάρλεμαν Μ μια (άμεση) αναπαράσταση του $f(x)$. Εδώ ο όρος $f\circ g$ δηλώνει τη σύνθεση των συναρτήσεων $f(g(x))$.

Άλλες ιδιότητες περιλαμβάνουν:

• $\,M[f^{n}]=M[f]^{n}$, όπου $\,f^{n}$ είναι μια επαναλαμβανόμενη συνάρτηση και

• $\,M[f^{-1}]=M[f]^{-1}$, όπου $\,f^{-1}$ είναι η αντίστροφη συνάρτηση (εάν ο πίνακας Κάρλεμαν είναι αντιστρέψιμος).

Παραδείγματα

Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας σταθεράς είναι:

$M[a]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&0&0&\cdots \\a^{2}&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Ο πίνακας Κάρλεμαν της συνάρτησης ταυτότητας είναι:

$M_{x}[x]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&1&0&\cdots \\0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας σταθερής πρόσθεσης είναι:

$M_{x}[a+x]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&1&0&\cdots \\a^{2}&2a&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Ο πίνακας Κάρλεμαν της συνάρτησης διαδόχου είναι ισοδύναμος με τον διωνυμικό συντελεστή:

$M_{x}[1+x]=\left({\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&\cdots \\1&1&0&0&\cdots \\1&2&1&0&\cdots \\1&3&3&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

$M_{x}[1+x]_{jk}={\binom {j}{k}}$

Ο πίνακας Κάρλεμαν του λογαρίθμου σχετίζεται με τους (προσημασμένους) αριθμούς Στίρλινγκ του πρώτου είδους που κλιμακώνονται με παραγοντικά:

$M_{x}[\log(1+x)]=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{4}}&\cdots \\0&0&1&-1&{\frac {11}{12}}&\cdots \\0&0&0&1&-{\frac {3}{2}}&\cdots \\0&0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

$M_{x}[\log(1+x)]_{jk}=s(k,j){\frac {j!}{k!}}$

Ο πίνακας Κάρλεμαν του λογαρίθμου σχετίζεται με τους (μη προσημασμένους) αριθμούς Στίρλινγκ του πρώτου είδους που κλιμακώνονται με παραγοντικά:

$M_{x}[-\log(1-x)]=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&\cdots \\0&0&1&1&{\frac {11}{12}}&\cdots \\0&0&0&1&{\frac {3}{2}}&\cdots \\0&0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

$M_{x}[-\log(1-x)]_{jk}=|s(k,j)|{\frac {j!}{k!}}$

Ο πίνακας Κάρλμαν της εκθετικής συνάρτησης σχετίζεται με τους αριθμούς Στίρλινγκ του δεύτερου είδους που κλιμακώνονται με παραγοντικά:

$M_{x}[\exp(x)-1]=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{24}}&\cdots \\0&0&1&1&{\frac {7}{12}}&\cdots \\0&0&0&1&{\frac {3}{2}}&\cdots \\0&0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

$M_{x}[\exp(x)-1]_{jk}=S(k,j){\frac {j!}{k!}}$

Ο πίνακας Κάρλεμαν των εκθετικών συναρτήσεων είναι:

$M_{x}[\exp(ax)]=\left({\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&\cdots \\1&a&{\frac {a^{2}}{2}}&{\frac {a^{3}}{6}}&\cdots \\1&2a&2a^{2}&{\frac {4a^{3}}{3}}&\cdots \\1&3a&{\frac {9a^{2}}{2}}&{\frac {9a^{3}}{2}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

$M_{x}[\exp(ax)]_{jk}={\frac {(ja)^{k}}{k!}}$

Ο πίνακας Κάρλεμαν ενός σταθερού πολλαπλάσιου είναι:

$M_{x}[cx]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&c&0&\cdots \\0&0&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας γραμμικής συνάρτησης είναι:

$M_{x}[a+cx]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&c&0&\cdots \\a^{2}&2ac&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Ο πίνακας Κάρλμαν μιας συνάρτησης $f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}x^{k}$ είναι:

$M[f]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&f_{1}&f_{2}&\cdots \\0&0&f_{1}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας συνάρτησης $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}x^{k}$ είναι:

$M[f]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\f_{0}&f_{1}&f_{2}&\cdots \\f_{0}^{2}&2f_{0}f_{1}&f_{1}^{2}+2f_{0}f_{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)$

Σχετικοί πίνακες

Ο πίνακας Μπελ ή ο πίνακας Ζαμποτίνσκι μιας συνάρτησης $f(x)$ ορίζεται ως εξής

$B[f]_{jk}={\frac {1}{j!}}\left[{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}(f(x))^{k}\right]_{x=0}~,$

ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση

$(f(x))^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }B[f]_{jk}x^{j}~,$

Αυτοί οι πίνακες αναπτύχθηκαν το 1947 από τον Έρι Ζαμποτίνσκι για να αναπαραστήσουν τις στροφές πολυωνύμων. Είναι ο ανάστροφος του πίνακα Κάρλεμαν και ικανοποιεί

$B[f\circ g]=B[g]B[f]~,$ γεγονός που καθιστά τον πίνακα Μπελ Β μια αντι-αντιπροσώπευση του $f(x)$.

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Bareiss, E. H. (1969), «Numerical solution of linear equations with Toeplitz and vector Toeplitz matrices», Numerische Mathematik 13 (5): 404–424, doi:10.1007/BF02163269 
• Goldreich, O.; Tal, A. (2018), «Matrix rigidity of random Toeplitz matrices», Computational Complexity 27 (2): 305–350, doi:10.1007/s00037-016-0144-9 
• Diodorus Siculus, Bibliotheca Historica. Vol. 1–2. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.
• Gaius Julius Hyginus, Fabulae from The Myths of Hyginus translated and edited by Mary Grant. University of Kansas Publications in Humanistic Studies. Online version at the Topos Text Project.
• Olav Kallenberg; Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
• Durrett, Rick (2019). Probability: Theory and Examples, 5th edition. UK: Cambridge University Press. ISBN 9781108473682. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Διανυσματικός χώρος
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
• Αντιστρέψιμος πίνακας
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
• Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory.
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences.
• More Progresses in Analysis: Proceedings of the 5th International ISAAC ...
• Algebra, Complex Analysis, and Pluripotential Theory: 2 USUZCAMP, Urgench ...
• Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

Παραπομπές

• Gross, Donald· Carl M. Harris (1998). Fundamentals of Queueing Theory. Wiley. ISBN 978-0-471-32812-4.  Online
• R Aldrovandi, Special Matrices of Mathematical Physics: Stochastic, Circulant and Bell Matrices, World Scientific, 2001. (preview)
• R. Aldrovandi, L. P. Freitas, Continuous Iteration of Dynamical Maps, online preprint, 1997.
• P. Gralewicz, K. Kowalski, Continuous time evolution from iterated maps and Carleman linearization, online preprint, 2000.
• K Kowalski and W-H Steeb, Nonlinear Dynamical Systems and Carleman Linearization, World Scientific, 1991. (preview)