Μεταφορά (γεωμετρία)

Μετατόπιση σημείου κατά $\delta =(5,3)$.

Στην γεωμετρία, μεταφορά ή μετατόπιση είναι ο γεωμετρικός μετασχηματισμός που μετακινεί κάθε σημείο προς μία σταθερή κατεύθυνση. Αυτός ο μετασχηματισμός εμφανίζεται αρκετά συχνά στην καθημερινή ζωή. Για παράδειγμα, κάθε φορά που κάνουμε σκρολ σε μία σελίδα, το περιεχόμενο της σελίδας μεταφέρεται προς μία κατεύθυνση.

Πιο συγκεκριμένα, στο Ευκλείδειο επίπεδο, η μεταφορά κατά $\delta =(\delta _{x},\delta _{y})$ είναι η συνάρτηση

$T_{\delta }((x,y))=(x+\delta _{x},y+\delta _{y})$.

Στον Ευκλείδειο χώρο, η μεταφορά κατά $\delta =(\delta _{x},\delta _{y},\delta _{z})$ είναι η συνάρτηση

$T_{\delta }((x,y,z))=(x+\delta _{x},y+\delta _{y},z+\delta _{z})$.

Παραδείγματα

Για $\delta =(3,5)$, τότε

• $T_{\delta }((4,1))=(7,6)$,
• $T_{\delta }((-2,3))=(1,8)$,
• $T_{\delta }((1,-3))=(4,2)$.

Για $\delta =(-2,1)$, τότε

• $T_{\delta }((4,1))=(2,2)$,
• $T_{\delta }((-2,3))=(-4,4)$,
• $T_{\delta }((1,-3))=(-1,-2)$.

Για $\delta =(\delta _{x},0)$, τότε έχουμε οριζόντια μετατόπιση προς τα δεξιά αν $\delta _{x}>0$ και προς τα αριστερά αν $\delta _{x}<0$.

Για $\delta =(0,\delta _{y})$, τότε έχουμε κατακόρυφη μετατόπιση προς τα πάνω αν $\delta _{y}>0$ και προς τα κάτω αν $\delta _{y}<0$.

Με όρους διανυσμάτων

Η μεταφορά κατά ένα διάνυσμα $\mathbf {\delta }$ είναι η συνάρτηση

$T_{\mathbf {\delta } }(\mathbf {x} )=\mathbf {x} +\mathbf {\delta }$.

Μεταφορά σχήματος

Μεταφορά σχήματος: μετατοπίζει όλα τα σημεία του σχήματος προς την ίδια διεύθυνση.

Η μεταφορά ενός σχήματος είναι η συνάρτηση που αντιστοιχεί ένα σχήμα σε άλλο σχήμα που αποτελείται από όλα τα μετατοπισμένα σημεία, δηλαδή

${\displaystyle T_{\delta }(S)=\{\mathbf {x} +\delta$ :\mathbf {x} \in S\}} .

Σύνθεση μεταφορών

Η σύνθεση δύο μεταφορών είναι επίσης μεταφορά κατά διάνυσμα ίσο με το άθροισμα των δύο διανυσμάτων. Δηλαδή,

$T_{\delta _{1}}\circ T_{\delta _{2}}=T_{\delta _{1}+\delta _{2}}$.

Απόδειξη  

Έστω ένα διάνυσμα $\mathbf {x}$, τότε

${\begin{aligned}T_{\delta _{1}}(T_{\delta _{2}}(\mathbf {x} ))&=(\mathbf {x} +\delta _{2})+\delta _{1}\\&=\mathbf {x} +(\delta _{1}+\delta _{2})\\&=T_{\delta _{1}+\delta _{2}}(\mathbf {x} ).\end{aligned}}$

Μετατόπιση γραφικής παράστασης

Κατακόρυφη μετατόπιση γραφικής παράστασης

Η κατακόρυφη μετατόπιση της συνάρτησης $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ κατά $c\in \mathbb {R}$ είναι η συνάρτηση $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ που ορίζεται

$g(x)=f(x)+c$.

Όταν $c>0$ η γραφική παράσταση μετατοπίζεται προς τα πάνω, ενώ όταν $c<0$ η γραφική παράσταση μετατοπίζεται προς τα κάτω.

Παράδειγμα

Θεωρούμε την συνάρτηση

$f(x)=x^{3}-2x+1$.

Η κατακόρυφη μετατόπιση της $f$ κατά $4$ προς τα πάνω είναι η συνάρτηση

$g(x)=f(x)+4=x^{3}-2x+5$.

Η οριζόντια μετατόπιση της $f$ κατά $4$ προς τα κάτω είναι η συνάρτηση

$g(x)=f(x)-4=x^{3}-2x-1$.

Κατακόρυφη μετατόπιση της συνάρτησης $f$ προς τα πάνω.

Κατακόρυφη μετατόπιση της συνάρτησης $f$ προς τα κάτω.

Οριζόντια μετατόπιση γραφικής παράστασης

Η οριζόντια μετατόπιση της συνάρτησης κατά $c\in \mathbb {R}$ είναι η συνάρτηση $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ που ορίζεται

$g(x)=f(x-c)$.

Όταν $c>0$ η γραφική παράσταση μετατοπίζεται προς τα δεξιά, ενώ όταν $c<0$ μετατοπίζεται προς τα αριστερά.

Παράδειγμα

Θεωρούμε την συνάρτηση

$f(x)=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$.

Η οριζόντια μετατόπιση της $f$ κατά $4$ προς τα δεξιά είναι η συνάρτηση

$g(x)=f(x-4)=(x-4+1)^{2}=(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$.

Η οριζόντια μετατόπιση της $f$ κατά $4$ προς τα αριστερά είναι η συνάρτηση

$g(x)=f(x+4)=(x+4+1)^{2}=(x+5)^{2}=x^{2}+10x+25$.

Οριζόντια μετατόπιση γραφικής παράστασης προς τα δεξιά.

Οριζόντια μετατόπιση γραφικής παράστασης προς τα αριστερά.

Δείτε επίσης

• Περιστροφή
• Ανάκλαση