Ισοδυναμία γραμμών

Στη γραμμική άλγεβρα, δύο πίνακες είναι ισοδύναμοι ως προς τη γραμμή^[1]^[2] αν ο ένας μπορεί να μετατραπεί στον άλλο με μια ακολουθία στοιχειωδών πράξεων γραμμών. Εναλλακτικά, δύο m × n πίνακες είναι ισοδύναμοι σε σειρά αν και μόνο αν έχουν τον ίδιο χώρο γραμμών. Η έννοια εφαρμόζεται συνηθέστερα σε πίνακες που αναπαριστούν συστήματα γραμμικών εξισώσεων, οπότε δύο πίνακες του ίδιου μεγέθους είναι ισοδύναμοι στη σειρά αν και μόνο αν τα αντίστοιχα ομογενή συστήματα έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων, ή ισοδύναμα οι πίνακες έχουν τον ίδιο μηδενικό χώρο.

Επειδή οι στοιχειώδεις πράξεις σειράς είναι αντιστρέψιμες, η ισοδυναμία σειράς είναι μια σχέση ισοδυναμίας. Συνήθως συμβολίζεται με την τελεία (~).^[3]

Υπάρχει μια παρόμοια έννοια της ισοδυναμίας στηλών, η οποία ορίζεται από στοιχειώδεις πράξεις στήλης- δύο πίνακες είναι ισοδύναμοι στηλών εάν και μόνο εάν οι πίνακες μεταφοράς τους είναι ισοδύναμοι στη γραμμή. Δύο ορθογώνιοι πίνακες που μπορούν να μετατραπούν μεταξύ τους επιτρέποντας τόσο στοιχειώδεις πράξεις γραμμής όσο και στοιχειώδεις πράξεις στήλης ονομάζονται απλά ισοδύναμοι.

Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών

Μια στοιχειώδης πράξη γραμμών είναι οποιαδήποτε από τις ακόλουθες κινήσεις^[4]:

Αλλαγή γραμμής: Ανταλλάσσει δύο γραμμές ενός πίνακα.
Πολλαπλασιασμός σειρών: Πολλαπλασιάζει μια γραμμή ενός πίνακα με μια μη μηδενική σταθερά.
Προσθήκη σειράς: Προσθέτει ένα πολλαπλάσιο μιας γραμμής ενός πίνακα σε μια άλλη γραμμή.

Δύο πίνακες Α και Β είναι ισοδύναμοι σε σειρά αν είναι δυνατόν να μετασχηματιστεί ο Α σε Β με μια ακολουθία στοιχειωδών πράξεων σε σειρά.

Χώρος γραμμών

Κύριο άρθρο: Χώρος Γραμμών και Χώρος Στηλών

Ο χώρος γραμμών ενός πίνακα είναι το σύνολο όλων των δυνατών γραμμικών συνδυασμών των διανυσμάτων γραμμών του. Εάν οι γραμμές του πίνακα αντιπροσωπεύουν ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, τότε ο χώρος γραμμών αποτελείται από όλες τις γραμμικές εξισώσεις που μπορούν να συναχθούν αλγεβρικά από αυτές του συστήματος. Δύο πίνακες m × n είναι ισοδύναμοι ως προς τις γραμμές αν και μόνο αν έχουν τον ίδιο χώρο γραμμών.

Για παράδειγμα, οι πίνακες

{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\;\;\;\;{\text{και}}\;\;\;\;{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}}

είναι ισοδύναμες με γραμμές, με το χώρο γραμμών να είναι όλα τα διανύσματα της μορφής ${\begin{pmatrix}a&b&b\end{pmatrix}}$ . Τα αντίστοιχα συστήματα ομογενών εξισώσεων μεταφέρουν την ίδια πληροφορία:

{\begin{matrix}x=0\\y+z=0\end{matrix}}\;\;\;\;{\text{και}}\;\;\;\;{\begin{matrix}x=0\\x+y+z=0.\end{matrix}}

Ειδικότερα, και τα δύο αυτά συστήματα συνεπάγονται κάθε εξίσωση της μορφής $ax+by+bz=0.\,$

Ισοδυναμία των ορισμών

Το γεγονός ότι δύο πίνακες είναι ισοδύναμοι ως προς τις γραμμές αν και μόνο αν έχουν τον ίδιο χώρο γραμμών είναι ένα σημαντικό θεώρημα στη γραμμική άλγεβρα. Η απόδειξη βασίζεται στις ακόλουθες παρατηρήσεις:

Οι στοιχειώδεις πράξεις στις γραµµές δεν επηρεάζουν το χώρο γραμμών ενός πίνακα. Συγκεκριμένα, δύο ισοδύναμοι πίνακες έχουν τον ίδιο χώρο γραμμών.
Οποιοσδήποτε πίνακας μπορεί να αναιρεθεί με στοιχειώδεις πράξεις πράξεις γραµµών σε έναν πίνακα σε μορφή μειωμένης κλιμακωτής γραμμής.
Δύο πίνακες σε μορφή μειωμένης κλιμακωτής γραμμής έχουν τον ίδιο χώρο γραμμών αν και μόνο αν είναι ίσοι.

Αυτός ο συλλογισμός αποδεικνύει επίσης ότι κάθε πίνακας είναι ισοδύναμος με έναν μοναδικό πίνακα με μειωμένη κλιμακωτή μορφή.

Πρόσθετες ιδιότητες

Επειδή ο μηδενοχώρος ενός πίνακα είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα του χώρου των γραμμών, δύο πίνακες είναι ισοδύναμοι ως προς τις γραμμές αν και μόνο αν έχουν τον ίδιο μηδενικό χώρο.
Ο βαθμός ενός πίνακα είναι ίσος με τη διάσταση του χώρου γραμμών, οπότε οι ισοδύναμοι πίνακες γραμμών πρέπει να έχουν τον ίδιο βαθμό. Αυτό είναι ίσο με τον αριθμό των στυλοβατών στη μειωμένη μορφή κλιμακωτής γραμμής.
Ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν είναι ισοδύναμος με τον ταυτοτικό πίνακα.
Οι πίνακες A και B είναι ισοδύναμοι στη σειρά αν και μόνο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P τέτοιος ώστε A=PB.^[5]

Δημοσιεύσεις

Olivier D. Faugeras (1992). «What can be seen in three dimensions with an uncalibrated stereo rig?».

Olivier D. Faugeras; Q.T. Luong; Steven Maybank (1992). «Camera self-calibration: Theory and experiments». doi:10.1007/3-540-55426-2_37.

Q.T. Luong and Olivier D. Faugeras (1996). «The Fundamental Matrix: Theory, Algorithms, and Stability Analysis». International Journal of Computer Vision 17 (1): 43–75. doi:10.1007/BF00127818. https://archive.org/details/sim_international-journal-of-computer-vision_1996-01_17_1/page/42.

Olivier Faugeras and Q.T. Luong (2001). The Geometry of Multiple Images. MIT Press. ISBN 978-0-262-06220-6.

Richard I. Hartley (1992). «Estimation of relative camera positions for uncalibrated cameras». https://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-55426-2_62.

Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in Computer Vision. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54051-3.

Richard I. Hartley (1997). «In Defense of the Eight-Point Algorithm». IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 19 (6): 580–593. doi:10.1109/34.601246.
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X, https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau
Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd έκδοση), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th έκδοση), Pearson Prentice Hall
Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, https://books.google.gr/books?id=-7JeAwAAQBAJ&newbks=1&newbks_redir=0&lpg=PR2&dq=Meyer%2C%20Carl%20D.%20(February%2015%2C%202001)%2C%20Matrix%20Analysis%20and%20Applied%20Linear%20Algebra%2C%20Society%20for%20Industrial%20and%20Applied%20Mathematics%20(SIAM)%2C%20ISBN%20978-0-89871-454-8&hl=el&pg=PR2#v=onepage&q&f=false
Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd έκδοση), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th έκδοση), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

↑ «Linear Algebra/Row Equivalence - Wikibooks, open books for an open world». en.wikibooks.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 20 Σεπτεμβρίου 2024.
↑ Jeffrey, Alan (19 Ιουνίου 2001). Advanced Engineering Mathematics. Elsevier. ISBN 978-0-08-052296-8.
↑ Lay 2005, Example 4, σελ. 21
↑ «2.8: Elementary Matrices». Mathematics LibreTexts (στα Αγγλικά). 27 Φεβρουαρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 20 Σεπτεμβρίου 2024.
↑ Roman 2008, Example 0.3, σελ. 9

Epipolar Geometry and the Fundamental Matrix (chapter from Hartley & Zisserman)
Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd έκδοση), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd έκδοση), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, https://books.google.gr/books?id=-7JeAwAAQBAJ&newbks=1&newbks_redir=0&lpg=PR2&dq=Meyer%2C%20Carl%20D.%20(February%2015%2C%202001)%2C%20Matrix%20Analysis%20and%20Applied%20Linear%20Algebra%2C%20Society%20for%20Industrial%20and%20Applied%20Mathematics%20(SIAM)%2C%20ISBN%20978-0-89871-454-8&hl=el&pg=PR2#v=onepage&q&f=false
Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd έκδοση), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th έκδοση), Wiley International
Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th έκδοση), Pearson Prentice Hall
Roman, Steven (2008). Advanced Linear Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 135 (3rd έκδοση). Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 978-0-387-72828-5.

[1] «Linear Algebra/Row Equivalence - Wikibooks, open books for an open world». en.wikibooks.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 20 Σεπτεμβρίου 2024.

[2] Jeffrey, Alan (19 Ιουνίου 2001). Advanced Engineering Mathematics. Elsevier. ISBN 978-0-08-052296-8.

[3] Lay 2005, Example 4, σελ. 21

[4] «2.8: Elementary Matrices». Mathematics LibreTexts (στα Αγγλικά). 27 Φεβρουαρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 20 Σεπτεμβρίου 2024.

[5] Roman 2008, Example 0.3, σελ. 9

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]