Εξίσωση Συλβέστερ

Στα μαθηματικά, στον τομέα της θεωρίας ελέγχου, η εξίσωση Συλβέστερ είναι μια εξίσωση πίνακα της μορφής:^[1]

AX+XB=C.

Πήρε το όνομά του από τον Άγγλο μαθηματικό Τζέιμς Τζόσεφ Συλβέστερ. Στη συνέχεια, δεδομένων των πινάκων A, B και C, το πρόβλημα είναι να βρεθούν οι πιθανοί πίνακες X που συμμορφώνονται με αυτή την εξίσωση. Υποθέτουμε ότι όλοι οι πίνακες έχουν συντελεστές στους μιγαδικούς αριθμούς. Για να έχει νόημα η εξίσωση, οι πίνακες πρέπει να έχουν κατάλληλα μεγέθη, για παράδειγμα θα μπορούσαν να είναι όλοι τετραγωνικοί πίνακες του ίδιου μεγέθους. Αλλά γενικότερα, οι A και B πρέπει να είναι τετραγωνικοί πίνακες μεγέθους n και m αντίστοιχα, και τότε οι X και C έχουν και οι δύο n γραμμές και m στήλες.

Μια εξίσωση Συλβέστερ έχει μοναδική λύση για το Χ ακριβώς όταν δεν υπάρχουν κοινές ιδιοτιμές των Α και Β. Γενικότερα, η εξίσωση AX + XB = C έχει θεωρηθεί ως εξίσωση περιορισμένων τελεστών σε έναν (ενδεχομένως απειροδιάστατο) χώρο Μπάναχ. Στην περίπτωση αυτή, η συνθήκη για τη μοναδικότητα μιας λύσης X είναι σχεδόν η ίδια: Υπάρχει μια μοναδική λύση X ακριβώς όταν τα φάσματα των A και -B είναι ξένα μεταξύ τους.^[2]

Ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων

Χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό του γινομένου Κρόνεκερ και τον τελεστή διανυσματοποίησης $\operatorname {vec}$ , μπορούμε να ξαναγράψουμε την εξίσωση του Συλβέστερ στη μορφή

(I_{m}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,

όπου $A$ είναι διάστασης $n\!\times \!n$ , $B$ είναι διάστασης $m\!\times \!m$ , $X$ διάστασης $n\!\times \!m$ και $I_{k}$ είναι ο $k\times k$ Ταυτοτικός πίνακας. Σε αυτή τη μορφή, η εξίσωση μπορεί να θεωρηθεί ως ένα γραμμικό σύστημα διάστασης $mn\times mn$ .^[3]

Θεώρημα. Δίνονται οι πίνακες $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ και $B\in \mathbb {C} ^{m\times m}$ , η εξίσωση Συλβέστερ $AX+XB=C$ έχει μοναδική λύση $X\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ για κάθε $C\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ αν και μόνο αν $A$ και $-B$ δεν έχουν καμία κοινή ιδιοτιμή.

Απόδειξη. Η εξίσωση $AX+XB=C$ είναι ένα γραμμικό σύστημα με $mn$ αγνώστους και τον ίδιο αριθμό εξισώσεων. Επομένως είναι μοναδικά επιλύσιμη για κάθε δεδομένο $C$ αν και μόνο αν η ομογενής εξίσωση $AX+XB=0$ δέχεται μόνο την τετριμμένη λύση $0$ .

(i) Ας υποθέσουμε ότι οι $A$ και $-B$ δεν έχουν καμία κοινή ιδιοτιμή. Έστω $X$ μια λύση της προαναφερθείσας ομογενούς εξίσωσης. Τότε $AX=X(-B)$ , η οποία μπορεί να ανυψωθεί σε $A^{k}X=X(-B)^{k}$ f για κάθε $k\geq 0$ με μαθηματική επαγωγή. Κατά συνέπεια, $p(A)X=Xp(-B)$ για οποιοδήποτε πολυώνυμο $p$ . Ειδικότερα, έστω $p$ το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $A$ . Τότε $p(A)=0$ λόγω του θεωρήματος Κέιλι-Χάμιλτον- εν τω μεταξύ, το θεώρημα φασματικής απεικόνισης μας λέει ότι $\sigma (p(-B))=p(\sigma (-B)),$ όπου $\sigma (\cdot )$ δηλώνει το φάσμα ενός πίνακα. Εφόσον οι $A$ και $-B$ δεν έχουν καμία κοινή ιδιοτιμή, το $p(\sigma (-B))$ δεν περιέχει μηδέν, και επομένως το $p(-B)$ είναι μη-ιδιάζον. Συνεπώς, $X=0$ όπως είναι επιθυμητό. Αυτό αποδεικνύει το μέρος «αν» του θεωρήματος.

(ii) Υποθέστε τώρα ότι οι $A$ και $-B$ έχουν κοινή ιδιοτιμή $\lambda$ . Έστω $u$ ένα αντίστοιχο δεξιό ιδιοδιάνυσμα για το $A$ , $v$ ένα αντίστοιχο αριστερό ιδιοδιάνυσμα για το $-B$ , και $X=u{v}^{*}$ . Τότε $X\neq 0$ , και $AX+XB=A(uv^{*})-(uv^{*})(-B)=\lambda uv^{*}-\lambda uv^{*}=0.$ Επομένως, το $X$ είναι μια μη τετριμμένη λύση της προαναφερθείσας ομογενούς εξίσωσης, δικαιολογώντας το μέρος «μόνο αν» του θεωρήματος. Q.E.D.

Ως εναλλακτική λύση στο θεώρημα φασματικής απεικόνισης, η μη ιδιάζουσα του $p(-B)$ στο μέρος (i) της απόδειξης μπορεί επίσης να αποδειχθεί από την ταυτότητα του Μπεζού για τα συντριπτικά πολυώνυμα. Έστω $q$ το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $-B$ . Εφόσον τα $A$ και $-B$ δεν έχουν καμία κοινή ιδιοτιμή, τα $p$ και $q$ είναι συντριπτά. Επομένως υπάρχουν πολυώνυμα $f$ και $g$ τέτοια ώστε $p(z)f(z)+q(z)g(z)\equiv 1$ . Σύμφωνα με το θεώρημα Κέιλι-Χάμιλτον-, $q(-B)=0$ . Επομένως $p(-B)f(-B)=I$ , που σημαίνει ότι $p(-B)$ είναι μη-ιδιάζον.

Το θεώρημα παραμένει αληθές για πραγματικούς πίνακες με την επιφύλαξη ότι εξετάζονται οι μιγαδικές ιδιοτιμές τους. Η απόδειξη για το μέρος «αν» εξακολουθεί να ισχύει- για το μέρος «μόνο αν», σημειώστε ότι τόσο το $\mathrm {Re} (uv^{*})$ όσο και το $\mathrm {Im} (uv^{*})$ ικανοποιούν την ομογενή εξίσωση $AX+XB=0$ , και δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα μηδέν.

Ο κανόνας αφαίρεσης του Ροθ

Δίνονται δύο τετραγωνικοί σύνθετοι πίνακες A και B, μεγέθους n και m, και ένας πίνακας C μεγέθους n επί m, τότε μπορεί κανείς να ρωτήσει πότε οι ακόλουθοι δύο τετραγωνικοί πίνακες μεγέθους n + m είναι παρόμοιοι μεταξύ τους: ${\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}$ και ${\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}$ . Η απάντηση είναι ότι αυτοί οι δύο πίνακες είναι παρόμοιοι ακριβώς όταν υπάρχει ένας πίνακας X τέτοιος ώστε AX - XB = C. Με άλλα λόγια, ο X είναι λύση μιας εξίσωσης του Συλβέστερ. Αυτό είναι γνωστό ως κανόνας αφαίρεσης του Ροθ.^[4]

Ελέγχεται εύκολα η μία κατεύθυνση: Εάν AX - XB = C τότε

{\begin{bmatrix}I_{n}&X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{n}&-X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}.

Ο κανόνας αφαίρεσης του Ροθ δεν γενικεύεται σε απειροδιάστατους δεσμευμένους τελεστές σε ένα χώρο Μπάναχ.^[5] Παρόλα αυτά, ο κανόνας αφαίρεσης του Ροθ γενικεύεται στα συστήματα εξισώσεων Συλβέστερ.^[6]

Αριθμητικές λύσεις

Ένας κλασικός αλγόριθμος για την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Συλβέστερ είναι ο αλγόριθμος Μπάρτελς-Στιούαρτ, ο οποίος συνίσταται στη μετατροπή των $A$ και $B$ σε μορφή Schur μέσω ενός αλγορίθμου QR και στη συνέχεια στην επίλυση του τριγωνικού συστήματος που προκύπτει μέσω αντίστροφης αντικατάστασης. Αυτός ο αλγόριθμος, του οποίου το υπολογιστικό κόστος είναι ${\mathcal {O}}(n^{3})$ αριθμητικές πράξεις, χρησιμοποιείται, μεταξύ άλλων, από το LAPACK και τη συνάρτηση lyap στο GNU Octave^[7] Δείτε επίσης τη συνάρτηση Συλβέστερ στην εν λόγω γλώσσα.^[8]^[9]. Σε ορισμένες συγκεκριμένες εφαρμογές επεξεργασίας εικόνας, η παραγόμενη εξίσωση Συλβέστερ έχει λύση κλειστής μορφής.^[10]

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δημοσιεύσεις

Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf.
Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9.
Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375
Sylvester, J. (1884). «Sur l'equations en matrices $px=xq$ ». :C. R. Acad. Sci. Paris 99 (2): 67–71, 115–116.
Bartels, R. H.; Stewart, G. W. (1972). «Solution of the matrix equation $AX+XB=C$ ». Comm. ACM 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582.
Bhatia, R.; Rosenthal, P. (1997). «How and why to solve the operator equation $AX-XB=Y$ ?». Bull. London Math. Soc. 29 (1): 1–21. doi:10.1112/S0024609396001828.
Dmytryshyn, Andrii; Kågström, Bo (2015). «Coupled Sylvester-type Matrix Equations and Block Diagonalization». SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 36 (2): 580–593. doi:10.1137/151005907.
Lee, S.-G.; Vu, Q.-P. (2011). «Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum». Linear Algebra Appl. 435 (9): 2097–2109. doi:10.1016/j.laa.2010.09.034.
Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. (2015). «Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation». IEEE Transactions on Image Processing 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572. PMID 26208345. Bibcode: 2015ITIP...24.4109W.
Birkhoff and MacLane (1 Ιανουαρίου 1965). A survey of Modern Algebra. Macmillan. σελίδες 213, 299.

Παραπομπές

↑ This equation is also commonly written in the equivalent form of AX − XB = C.
↑ Bhatia and Rosenthal, 1997
↑ However, rewriting the equation in this form is not advised for the numerical solution since this version is costly to solve and can be ill-conditioned.
↑ Gerrish, F; Ward, A.G.B (Nov 1998). «Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule». The Mathematical Gazette 82 (495): 423–430. doi:10.2307/3619888. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1998-11_82_495/page/423.
↑ Bhatia and Rosenthal, p.3
↑ Dmytryshyn, Andrii; Kågström, Bo (2015). «Coupled Sylvester-type Matrix Equations and Block Diagonalization». SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 36 (2): 580–593. doi:10.1137/151005907.
↑ «Function Reference: Lyap».
↑ «Functions of a Matrix (GNU Octave (version 4.4.1))».
↑ The syl command is deprecated since GNU Octave Version 4.0
↑ Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. (2015). «Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation». IEEE 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572. PMID 26208345. Bibcode: 2015ITIP...24.4109W.

Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory, AMS (2004).

[1] This equation is also commonly written in the equivalent form of AX − XB = C.

[2] Bhatia and Rosenthal, 1997

[3] However, rewriting the equation in this form is not advised for the numerical solution since this version is costly to solve and can be ill-conditioned.

[4] Gerrish, F; Ward, A.G.B (Nov 1998). «Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule». The Mathematical Gazette 82 (495): 423–430. doi:10.2307/3619888. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1998-11_82_495/page/423.

[5] Bhatia and Rosenthal, p.3

[6] Dmytryshyn, Andrii; Kågström, Bo (2015). «Coupled Sylvester-type Matrix Equations and Block Diagonalization». SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 36 (2): 580–593. doi:10.1137/151005907.

[7] «Function Reference: Lyap».

[8] «Functions of a Matrix (GNU Octave (version 4.4.1))».

[9] The syl command is deprecated since GNU Octave Version 4.0

[10] Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. (2015). «Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation». IEEE 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572. PMID 26208345. Bibcode: 2015ITIP...24.4109W.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]